Calcule a integral

∫ 1 4 ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ 1 4 ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

∫ ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log 2 ⁡ x , consequentemente, temos d u = d x x ln ⁡ 2 . Portanto, temos:

∫ ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x = ∫ ln ⁡ 2 2 u   d u = ln ⁡ 2 2 ⋅ ∫ u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln ⁡ 2 2 ⋅ ∫ u   d u = ln ⁡ 2 2 ⋅ u 2 2 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln ⁡ 2 2 ⋅ u 2 2 + k = ln ⁡ 2 2 ⋅ log 2 ⁡ x 2 2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ 1 4 ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x = ln ⁡ 2 2 ⋅ log 2 ⁡ x 2 2 1 4

∫ 1 4 ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x = ln ⁡ 2 2 2 ⋅ [ log 2 ⁡ 4 2 - log 2 ⁡ 1 2 ]

∫ 1 4 ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x = ln ⁡ 2 2 2 ⋅ [ 2 2 - 0 ]

∫ 1 4 ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x = ln ⁡ 2 2 2 ⋅ 4 = 2 ln ⁡ 2 2

Resposta

∫ 1 4 ln ⁡ 2 log 2 ⁡ x x d x = 2 ln ⁡ 2 2

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