Calcule a integral

∫ 0 π 3 tg 5 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estou aqui para te ajudar a resolver essa integral. Em situações de integração de funções trigonométricas, é valido a gente utilizar de alguma relação trigonométrica afim de facilitar os cálculos.

A gente vai começar a resolução lembrando da seguinte propriedade: sec 2 ⁡ x = tg 2 ⁡ x + 1 . Aplicando isso na nossa integral, temos que

∫ 0 π 3 tg 5 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = ∫ 0 π 3 tg 5 ⁡ x ( tg 2 ⁡ x + 1 ) sec 2 ⁡ x d x

Passo 2

Agora a gente usa a substituição, aí a gente faz a seguinte propriedade:

u = tg ⁡ x ,   d u = sec 2 ⁡ x d x  

Assim, a gente resolve esse monstrão:

∫ 0 π 3 tg 5 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = ∫ 0 π 3 tg 5 ⁡ x tg 2 ⁡ x + 1 sec 2 ⁡ x d x

= ∫ 0 3 u 5 u 2 + 1 d u

= ∫ 0 3 u 7 + u 5 d u = 1 8 u 8 + 1 6 u 6 0 3

= 81 8 + 27 6 =

81 8 + 9 2 = 81 8 + 36 8 = 117 8

Resposta

117 8 .

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