Enunciado

Calcule a integral int x . s e c^2 x d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = x

Pois é o valor mais simples de derivar

d u = ( x ) ’ . d x

d u = d x

d v = s e c^2 x d x

v = int s e c^2 x d x

v = t g x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int x . s e c^2 x d x = x . t g x - int t g x d x

Para poder resolver int t g x d x utilizamos o método da substituição:

int t g x d x = int (s e n x)/(cos x) d x

w = c o s x

d w = ( c o s x ) ’

d w = - s e n x d x

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que (- 1)/(- 1) é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

(- 1)/(- 1) int (s e n x)/(cos x) d x

= - int (- s e n x)/(cos x) d x

substituituimos w = c o s x e d w = - s e n x d x

= - int (1)/(w) d w

= - l n |w|

Por fim retornamos para o valor original

= - l n |cos x|

E agora é só colocar esse resultado no lugar de int t g x d x

int x . s e c^2 x d x = x . t g x - int t g x d x

= x . t g x - (- l n |cos x|)

= x . t g x + l n |cos x| + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int x . s e c^2 x d x = x . t g x + l n |cos x| + c

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