Calcule a integral ∫ t g - 1 y   d y usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   t g - 1 y  

Pois é o valor mais simples de derivar. d u   =   ( t g - 1 y ) ’ .   d y      

d u   =   1   1 + y 2 .   d y      

d v   =   1   .   d y

v = ∫ 1 . d y

    v   =   y

observe que para achar o valor de “du” usamos a fórmula da derivada da função inversa: t g - 1 x ’ = 1   1 + x 2

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ t g - 1 y   d y = y .   t g - 1 y -   ∫ y . 1   1 + y 2 d y

Para poder resolver ∫ y . 1   1 + y 2 d y utilizamos o método da substituição:

∫ y . 1   1 + y 2 d y = ∫ y 1 + y 2 d y

w = 1 + y 2

dw = (1 + y 2 )’

dw = 2.y dy

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que 2 2 é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

2 2 ∫ y 1 + y 2 d y

= 1 2 ∫ 2 . y 1 + y 2 d y

substituituimos w = 1 + y 2 e dw = 2.y dy

= 1 2 ∫ 1 w   d w

= 1 2   . l n w

Por fim retornamos para o valor original

1 2   . l n 1   +   y 2

E agora é só colocar esse resultado no lugar de ∫ y . 1   1 + y 2 d y

∫ t g - 1 y   d y = y .   t g - 1 y -   ∫ y . 1   1 + y 2 d y

= y .   t g - 1 y -   1 2   . l n 1   +   y 2

Aplicando a propriedade logaritímica da potência passamos esse 1 2 na frente do ln para expoente:

= y .   t g - 1 y - ln ⁡ 1   +   y 2 1 2

= y .   t g - 1 y - ln ⁡   1   +   y 2 + c  

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ t g - 1 y   d y = y .   t g - 1 y - ln ⁡   1   +   y 2 + c  

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