Enunciado

Calcule a integral int t g^(- 1) y d y usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = t g^(- 1) y

Pois é o valor mais simples de derivar. d u = ( t g^(- 1) y ) ’ . d y

d u = (1)/(1 + y^2) . d y

d v = 1 . d y

v = int 1 . d y

v = y

observe que para achar o valor de “du” usamos a fórmula da derivada da função inversa: (t g^(- 1) x) ’ = (1)/(1 + x^2)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int t g^(- 1) y d y = y . t g^(- 1) y - int y . (1)/(1 + y^2) d y

Para poder resolver int y . (1)/(1 + y^2) d y utilizamos o método da substituição:

int y . (1)/(1 + y^2) d y = int (y)/(1 + y^2) d y

w = 1 + y^2

dw = (1 + y^2 )’

dw = 2.y dy

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que (2)/(2) é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

(2)/(2) int (y)/(1 + y^2) d y

= (1)/(2) int (2 . y)/(1 + y^2) d y

substituituimos w = 1 + y^2 e dw = 2.y dy

= (1)/(2) int (1)/(w) d w

= (1)/(2) . l n |w|

Por fim retornamos para o valor original

(1)/(2) . l n |1 + y^2|

E agora é só colocar esse resultado no lugar de int y . (1)/(1 + y^2) d y

int t g^(- 1) y d y = y . t g^(- 1) y - int y . (1)/(1 + y^2) d y

= y . t g^(- 1) y - (1)/(2) . l n |1 + y^2|

Aplicando a propriedade logaritímica da potência passamos esse (1)/(2) na frente do ln para expoente:

= y . t g^(- 1) y - ln (1 + y^2)^((1)/(2))

= y . t g^(- 1) y - ln sqrt(1 + y^2) + c^()

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int t g^(- 1) y d y = y . t g^(- 1) y - ln sqrt(1 + y^2) + c^()

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