Calcule a integral:

∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - θ senh ⁡ θ   d θ

Passo 1

Sabemos que senh ⁡ x =   e x - e - x 2   , vamos reescrever a integral como:

Então, vamos escrever a integral como uma potência:

∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - θ senh ⁡ θ   d θ =   ∫ 0 ln ⁡ 2 4 ( 1 e θ ) e θ - e - θ 2 d θ =     ∫ 0 ln ⁡ 2 4 ( 1 e θ ) e θ - e - θ 2 d θ = 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 1 - e - 2 θ d θ

Agora é só integrarmos essa última integral:

Passo 2

2 ∫ 0 ln ⁡ 2 1 - e - 2 θ d θ = 2 θ + e - 2 θ 2 0 l n 2  

Agora a gente joga os limites de integração...

2 θ + e - 2 θ 2 0 l n 2 = 2 ln ⁡ 2 + e - 2 l n 2 2 - 2 0 + e 0 2 = 2 ln ⁡ 2 + 1 8 - 1 2 = ln ⁡ 4   - 3 4

Resposta

ln ⁡ 4   - 3 4

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