Calcule a integral.

29 .   ∫ 0 π x sin ⁡ x cos ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro para resolver essa integral, temos que mexer nela um pouco, para ela ficar com uma cara melhor e vamos fazer isso usando a seguinte identidade trigonométrica.

sin ⁡ x cos ⁡ x = 1 2 sin ⁡ 2 x

Então nossa integral fica:

  ∫ 0 π x sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 0 π x 1 2 sin ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 ∫ 0 π x sin ⁡ ( 2 x ) d x

Agora precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Temos para nossa integral que:

f = x ,             d g = s in ⁡ ( 2 x ) d x

d f = d x                 g = - 1 2 cos ⁡ ( 2 x )

Passo 2

Nossa integral fica assim:

1 2 ∫ 0 π x sin ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 - 1 2 x cos ⁡ 2 x 0 π - 1 2 ∫ 0 π - 1 2 cos ⁡ ( 2 x ) d x  

= - 1 4 π cos ⁡ 2 π - 0 + 1 4 ∫ 0 π cos ⁡ 2 x d x

= - π 4 + 1 4 ∫ 0 π cos ⁡ 2 x d x

Passo 3

Então ficamos com:

- π 4 + 1 4 ∫ 0 π cos ⁡ 2 x d x

Continuando a integração temos:

- π 4 + 1 4 sin ⁡ 2 x 2 0 π

= - π 4 + 1 4 sin ⁡ 2 π 2 - sin ⁡ 0 2

= - π 4

Resposta

∫ 0 π x sin ⁡ x cos ⁡ x   d x = - π 4

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