Calcule a integral.

16 . ∫ z 10 z   d z

Passo 1

Para começar a resolver essa integral, precisamos integrar por partes, a fórmula para isso é a seguinte:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Temos para nossa integral que:

f = z ,             d g = 1 10 z

d f = d z                 g = - 10 - z ln ⁡ 10

Esse resultado pra g pode ser constatado no início do capítulo 7 , que mostra que:

∫ b x   d x = b x ln ⁡ b

Passo 2

Nossa integral fica assim:

∫ z 10 z   d z = - z 10 - z ln ⁡ 10 - ∫ - 10 - z ln ⁡ 10   d z

= - z 10 - z ln ⁡ 10 + ∫ 10 - z ln ⁡ 10   d z

Passo 3

Então ficamos com:

- z 10 - z ln ⁡ 10 + ∫ 10 - z ln ⁡ 10   d z

Continuando a integração temos:

- z 10 - z ln ⁡ 10 + 1 ln ⁡ 10 ∫ 10 - z   d z

= - z 10 - z ln ⁡ 10 - 1 ln ⁡ 10 10 - z ln ⁡ 10

= - z 10 - z ln ⁡ 10 - 10 - z ln 2 ⁡ 10

Resposta

∫ z 10 z   d z = - z 10 - z ln ⁡ 10 - 10 - z ln 2 ⁡ 10

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