Questão 25: calcule a integral indefinida

    ∫ 0 2 x ²   3 x   d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não Note que o integrando   " x ²   3 x   " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs. Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Devemos fazer aparecer os termos da formula de integração por partes, certo? Vamos lá.

Passo 2

Seja f(x) = x² derivando, f’(x) = 2x

g’(x) = 3 x integrando, g(x) = 3 x ln ⁡ 3

Substituindo na formula de integração por partes, temos;

∫ x ²   3 x     d x   = x ² . 3 x ln ⁡ 3 - ∫ 2 x . 3 x ln ⁡ 3   d x

Note que devemos usar novamente integração por partes no ultimo termo da equação, vamos lá.

∫ 2 x . 3 x ln ⁡ 3   d x   Seja f(x) = 2 x ln ⁡ 3 derivando, f’(x) = 2 ln ⁡ 3

g’(x) = 3 x   integrando, g(x) =     3 x       ln ⁡ 3

Passo 3

Substituindo na formula temos;

∫ 2 x . 3 x ln ⁡ 3   d x =     3 x   ln ⁡ 3     .     2 x ln ⁡ 3   - ∫     2.3 x       ln ⁡ 3 . ln ⁡ 3   dx

=   3 x   . 2 x     l n 2 3 - 2 ln ⁡ 3 . 3 x ln ⁡ 3

=   3 x   . 2 x     l n 2 3   - 2 . 3 x   l n 3   3 ,

Substituindo na equação principal, temos;

∫ x ²   3 x     d x   = x ²   3 x ln ⁡ 3 - 3 x   2 x l n 2 3 + 2 . 3 x l n 3 3

Aplicando os intervalos de integração;

∫ 0 2 x ²   3 x   d x = x ²   3 x ln ⁡ 3 - 3 x   2 x l n 2 3 + 2 . 3 x l n 3 3 | 2 0

= (   2 ²   3 2 ln ⁡ 3 - 3 2   2.2 l n 2 3 + 2 . 3 2 l n 3 3 ) – (   0 ²   3 0 ln ⁡ 3 - 3 0   2.0 l n 2 3 + 2 . 3 0 l n 3 3 )

= 36 ln ⁡ 3 - 36 l n 2 3 + 18 l n 3 3 - 2 l n 3 3

= 36 ln ⁡ 3 - 36 l n 2 3 + 16 l n 3 3

Resposta

= 36 ln ⁡ 3 - 36 l n 2 3 + 16 l n 3 3

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