Enunciado

Questão 25: calcule a integral indefinida

int_0^2 x ² 3^x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não Note que o integrando " x ² 3^x " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs. Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Devemos fazer aparecer os termos da formula de integração por partes, certo? Vamos lá.

Passo 2

Seja f(x) = x² derivando, f’(x) = 2x

g’(x) = 3^x integrando, g(x) = (3^x)/(ln 3)

Substituindo na formula de integração por partes, temos;

int x ² 3^x d x = (x ² . 3^x)/(ln 3) - int (2 x . 3^x)/(ln 3) d x

Note que devemos usar novamente integração por partes no ultimo termo da equação, vamos lá.

int (2 x . 3^x)/(ln 3) d x Seja f(x) = (2 x)/(ln 3) derivando, f’(x) = (2)/(ln 3)

g’(x) = 3^(x ) integrando, g(x) = (3^(x ))/(ln 3)

Passo 3

Substituindo na formula temos;

int (2 x . 3^x)/(ln 3) d x = (3^(x ))/(ln 3) . (2 x)/(ln 3) - int (2.3^(x ))/(ln 3 . ln 3) dx

= (3^(x ) . 2 x)/(l n^2 3) - (2)/(ln 3) . (3^x)/(ln 3)

= (3^(x ) . 2 x)/(l n^2 3) - (2 . 3^x)/(l n^(3 ) 3) ,

Substituindo na equação principal, temos;

int x ² 3^x d x = (x ² 3^x)/(ln 3) - (3^x 2 x)/(l n^2 3) + (2 . 3^x)/(l n^3 3)

Aplicando os intervalos de integração;

int_0^2 x ² 3^x d x = (x ² 3^x)/(ln 3) - (3^x 2 x)/(l n^2 3) + (2 . 3^x)/(l n^3 3) | [[2],[0]]

= ( (2 ² 3^2)/(ln 3) - (3^2 2.2)/(l n^2 3) + (2 . 3^2)/(l n^3 3) ) – ( (0 ² 3^0)/(ln 3) - (3^0 2.0)/(l n^2 3) + (2 . 3^0)/(l n^3 3) )

= (36)/(ln 3) - (36)/(l n^2 3) + (18)/(l n^3 3) - (2)/(l n^3 3)

= (36)/(ln 3) - (36)/(l n^2 3) + (16)/(l n^3 3)

Resposta

= (36)/(ln 3) - (36)/(l n^2 3) + (16)/(l n^3 3)

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