Questão 24) Calcule a integral indefinida:

∫ t g - 1 x       d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não vai conseguir resolver.
  2. Note que o integrando   " t g - 1 . x     " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Essa questão e mais elaborada, logo no meio da resolução necessitara de uma ”sacada’’ (engenhosa).

Passo 2

Primeiro devemos fazer; z= x   z² = x

d x d z   = 2z dx = 2zdz

Portanto substituindo no integrando;

∫ t g - 1 x         d x   = ∫ t g - 1 z . 2 z   d z         ,   c e r t o ?

Agora sim, podemos usar integração por partes, veja que devemos fazer aparecer todos os termos dessa formula abaixo, vamos la.

Analisando a formula de integração por partes

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

Passo 3

Seja f(x) = t g - 1 z derivando f’(x) = 1 1 + z 2

g’(x) = 2z integrando g(x) = z²+1

Note que usamos o n° 1 como constante de integração que em outras questões que você (com certeza) já fez desconsiderava( fazia c=0) pois essa é a sacada desse problema; continuando...

∫ t g - 1 z . 2 z   d z = (z²+1).   t g - 1 .z - ∫ z ² + 1   1 z ² + 1 dz , Notou?

= (z²+1).   t g - 1 z – z+ C , voltando para x;

=(x+1).   t g - 1 x x + C .

Resposta

∫ t g - 1 x         d x   = (x+1).   t g - 1 x x + C .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados