Enunciado

Questão 24) Calcule a integral indefinida:

int t g^(- 1) sqrt(x ) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não vai conseguir resolver.
  2. Note que o integrando " t g^(- 1) . sqrt(x ) " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Essa questão e mais elaborada, logo no meio da resolução necessitara de uma ”sacada’’ (engenhosa).

Passo 2

Primeiro devemos fazer; z= sqrt(x ) -> z² = x

(d x)/(d z) = 2z -> dx = 2zdz

Portanto substituindo no integrando;

int t g^(- 1) sqrt(x ) d x = int t g^(- 1) z . 2 z d z , c e r t o ?

Agora sim, podemos usar integração por partes, veja que devemos fazer aparecer todos os termos dessa formula abaixo, vamos la.

Analisando a formula de integração por partes

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

Passo 3

Seja f(x) = t g^(- 1) z derivando f’(x) = (1)/(1 + z^2)

g’(x) = 2z integrando g(x) = z²+1

Note que usamos o n° 1 como constante de integração que em outras questões que você (com certeza) já fez desconsiderava( fazia c=0) pois essa é a sacada desse problema; continuando...

int t g^(- 1) z . 2 z d z = (z²+1). t g^(- 1) .z - int z ² + 1 (1)/(z ² + 1) dz , Notou?

= (z²+1). t g^(- 1) z – z+ C , voltando para x;

=(x+1). t g^(- 1) sqrt(x) sqrt(x) + C .

Resposta

int t g^(- 1) sqrt(x ) d x = (x+1). t g^(- 1) sqrt(x) sqrt(x) + C .

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