Enunciado

Calcule a integral de superfície.

int int_S^() ( x^2 z + y^2 z ) d S

S é o hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 4 , z >= 0

Passo 1

Galera, vamos lembrar que podemos usar coordenadas esféricas aqui:

r (varphi , theta) = 2 s e n varphi cos theta i + 2 s e n varphi s e n theta j + 2 cos varphi k

É bom memorizar que:

|r_varphi xx r_theta| = 4 s e n varphi

Assim, podemos escrever a integral:

int int_S^() ( x^2 z + y^2 z ) d S = int_0^(2 pi) int_0^(pi // 2) (4 s e n^2 varphi) ( 2 cos varphi ) ( 4 s e n varphi ) d varphi d theta

Passo 2

Show! Agora vamos resolver a integral:

int_0^(2 pi) int_0^(pi // 2) (4 s e n^2 varphi) ( 2 cos varphi ) ( 4 s e n varphi ) d varphi d theta = int_0^(2 pi) 32 d theta int_0^(pi // 2) s e n^3 varphi cos varphi d varphi = 32 [theta]_0^(2 pi) [(s e n^4 varphi)/(4)]_0^(pi // 2) = 32 (2 pi) ((1)/(4)) = 16 pi

Resposta

16 pi

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