Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 24
Calcule a integral de superfície para o campo vetorial e superfície orientada .
é o hemisfério , , orientado na direção do eixo positivo.
Passo 1
O exercício pede para calcularmos o fluxo de sobre a superfície . Nesse caso, é o hemisfério com Assim, fazemos a parametrização
Como temos , o ângulo polar deve rodar apenas o primeiro e segundo quadrante:
Além disso, como foi deduzido ao longo da seção do livro logo após a equação 5, o versor normal à superfície é dado por
Nesse caso, e . Como a orientação deve ser no sentido positivo do eixo , a normal aponta para fora:
Além disso,
Sabemos que
Fazendo o produto escalar:
Além disso, como também foi deduzido no livro, para o caso da esfera:
Logo,
Passo 2
Desta forma,
Vamos fazer primeiro a integral em . Sabemos que
pois fazemos e a integral vira
Assim, os dois primeiros termos morrem, restando apenas o último:
Mas note que a integral em também se anula:
Assim,