Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial F → e superfície orientada S .

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^ ,

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 25 , y ≥ 0 , orientado na direção do eixo y positivo.

Passo 1

O exercício pede para calcularmos o fluxo de F → sobre a superfície S . Nesse caso, S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 25 com y ≥ 0 . Assim, fazemos a parametrização

x = 5   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,     y = 5   s e n   ϕ   s e n   θ ,     z = 5 cos ⁡ ϕ

Como temos y ≥ 0 , o ângulo polar deve rodar apenas o primeiro e segundo quadrante:

0 ≤ ϕ ≤ π                 e               0 ≤ θ ≤ π

Além disso, como foi deduzido ao longo da seção do livro logo após a equação 5, o versor normal à superfície é dado por

n ^ = 1 a r →

Nesse caso, r → = ( 5   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   5   s e n   ϕ   s e n   θ ,   5 cos ⁡ ϕ ) e a = 5 . Como a orientação deve ser no sentido positivo do eixo y , a normal aponta para fora:

n ^ = ( s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   s e n   ϕ   s e n   θ ,   cos ⁡ ϕ )

Além disso,

F → = 25   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   5   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ ,   5   s e n   ϕ   s e n   θ

Sabemos que

F → ⋅ d S → = F → ⋅ n ^   d S

Fazendo o produto escalar:

F → ⋅ n ^ = 25   s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 5 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ + 5   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ

Além disso, como também foi deduzido no livro, para o caso da esfera:

r → θ × r → ϕ = a 2   s e n   ϕ = 25   s e n   ϕ

Logo,

d S = r → θ × r → ϕ   d A = 25   s e n   ϕ   d ϕ   d θ

Passo 2

Desta forma,

I = ∫ ∫ S F → ⋅ d S → = 25 ∫ 0 π ∫ 0 π ( 25   s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 5 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ + 5   s e n 2   ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ )   d ϕ   d θ

Vamos fazer primeiro a integral em ϕ . Sabemos que

∫ 0 π s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ = 0 ,

pois fazemos u = s e n   ϕ ⇒ d u = cos ⁡ ϕ   d ϕ e a integral vira

∫ 0 0 u 3   d u = 0

Assim, os dois primeiros termos morrem, restando apenas o último:

I = 75 ∫ 0 π s e n   θ   d θ ∫ 0 π s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ

Mas note que a integral em ϕ também se anula:

∫ 0 π s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ = ∫ 0 0 u 2 d u = 0

Assim,

I = 0

Resposta

I = 0

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