Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = y   i + x   j + z 2   k   ,

S é o helicoide do Exercício 10 com orientação para cima.

Passo 1

S é o helicoide com equação vetorial

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k   ,     0 ≤ u ≤ 1   ,     0 ≤ v ≤ π

Então, temos:

r u × r v = cos ⁡ v   i + s e n   v   j + 0   k × - u   s e n   v   i + u cos ⁡ v j + k = s e n   v   i - cos ⁡ v j + u   k

F r u ,   v = u   s e n   v   i + u cos ⁡ v j + v 2   k

Passo 2

Agora, lembre-se que:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D F ∙ r u × r v d A

No nosso caso, teremos

∫ ∫ D F ∙ r u × r v d A = ∫ 0 π ∫ 0 1 ( u   s e n   v ,   u cos ⁡ v ,   v 2 ) ∙ s e n   v , - cos ⁡ v ,   u     d u   d v = ∫ 0 π ∫ 0 1 u   s e n 2   v - u cos 2 ⁡ v + u v 2 d u   d v = ∫ 0 π - cos ⁡ 2 v + v 2 d v ∫ 0 1 u d u = - s e n 2 v 2 + v 3 3 0 π u 2 2 0 1 = π 3 3 1 2 = π 3 6

Resposta

π 3 6

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