Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x   i + y   j + z   k   ,

S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 .

Passo 1

Galera, vamos parametrizar a esfera assim:

r ϕ ,   θ = 3   s e n   ϕ cos ⁡ θ i + 3   s e n   ϕ   s e n   θ   j + 3 cos ⁡ ϕ   ,     0 ≤ ϕ ≤ π   ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Então, temos:

r ϕ × r θ =

3 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 3 cos ⁡ ϕ s e n   θ   j - 3   s e n   ϕ   k × - 3   s e n   ϕ   s e n   θ   i + 3   s e n   ϕ cos ⁡ θ j + 0   k = 9   s e n 2   ϕ cos ⁡ θ i + 9   s e n 2   ϕ   s e n   θ   j + 9   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ k

F r ϕ ,   θ = 3   s e n   ϕ cos ⁡ θ i + 3   s e n   ϕ   s e n   θ   j + 3 cos ⁡ ϕ k

Passo 2

Agora, lembre-se que:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D F ∙ r u × r v d A

No nosso caso, teremos

∫ 0 2 π ∫ 0 π ( 3   s e n   ϕ cos ⁡ θ , 3   s e n   ϕ   s e n   θ , 3 cos ⁡ ϕ ) ∙ 9   s e n 2   ϕ cos ⁡ θ ,   9   s e n 2   ϕ   s e n   θ , 9   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ k     d ϕ   d θ = 27 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 3   ϕ cos 2 ⁡ θ + s e n 3   ϕ   s e n 2   θ + s e n   ϕ cos 2 ⁡ ϕ   d ϕ   d θ = 27 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 3   ϕ + s e n   ϕ cos 2 ⁡ ϕ   d ϕ   d θ = 27 ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n   ϕ   d ϕ   d θ = 27 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π = 54 π 2 = 108 π

Resposta

108 π

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