Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S

S é a superfície com o vetor paramétrico r u , v = 2 u v ,   u 2 - v 2 , u 2 + v 2 ,   u 2 + v 2 ≤ 1 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = y

E queremos escrever a seguinte integral

∬ f x , y , z d S = ∬ f r u , v r u × r v d A

O vetor paramétrico é igual a

r u , v = 2 u v i + u 2 - v 2 j + u 2 + v 2 k

Precisamos achar as derivadas parciais de r ( u , v ) . Assim,

r u = 2 v i + 2 u j + 2 u k

r v = 2 u i - 2 v j + 2 v k

Calculando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais, temos:

r u × r v = i j k 2 v 2 u 2 u 2 u - 2 v 2 v = 8 u v i + 4 u 2 - 4 v 2 j + - 4 u 2 - 4 v 2 k

O módulo é igual a:

r u × r v = 8 u v 2 + 4 u 2 - 4 v 2 2 + ( - 4 u 2 - 4 v 2 ) 2 = ( 64 u 2 v 2 + 32 u 4 + 32 v 4

r u × r v = 32 u 2 + v 2 2 = 4 2 u 2 + v 2

Passo 2

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral!

∬ f x , y , z d S = ∬ 4 u 2 v 2 + u 4 - 2 u 2 v 2 + v 4 ⋅ 4 2 u 2 + v 2 d A

∬ f x , y , z d S = 4 2 ∬ ( u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 ) ( u 2 + v 2 ) d A

∬ f x , y , z d S = 4 2 ∬ u 2 + v 2 3 d A

Estamos quase lá!

∬ f x , y , z d S = 4 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 3 r d r d θ

∬ f x , y , z d S = 4 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 7 d r d θ

∬ f x , y , z d S = 4 2 ∫ 0 2 π r 8 8 0 1 d θ

∬ f x , y , z d S = 4 2 ∫ 0 2 π 1 8 d θ = 4 2 8 [ θ ] 0 2 π = π 2

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = π 2

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