Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 13
Calcule a integral de superfície.
é a parte do paraboloide dado por .
Passo 1
Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que
Qualquer superfície com equação pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:
Precisamos achar as derivadas parciais de . Assim,
Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:
Passo 2
A região é o interior do círculo . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a vida! Seja e . Assim,
Podemos usar a propriedade trigonométrica na primeira integral. Agora, na segunda integral, vamos resolver por substituição de variável! Seja . Além disso, os limites de integração mudam de para . Assim,
Resposta
A integral é igual a