Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ z 2 d S

S é a parte do paraboloide x = y 2 + z 2 dado por 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = z 2

Qualquer superfície S com equação x = g ( y , z ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Assim,

∂ x ∂ y = 2 y

∂ x ∂ z = 2 z

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 + 1 = z 2 2 y 2 + 2 z 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 + 1 = z 2 4 z 2 + 4 y 2 + 1

Passo 2

A região D é o interior do círculo x 2 + y 2 ≤ 1 . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a vida! Seja y = r cos ⁡ θ e z = r sen ⁡ θ . Assim,

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1   r 2 sen 2 ⁡ θ 1 + 4 r 2   r d r d θ

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ θ   d θ ∫ 0 1 r 3 1 + 4 r 2   d r

Podemos usar a propriedade trigonométrica sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 na primeira integral. Agora, na segunda integral, vamos resolver por substituição de variável! Seja u = 1 + 4 r 2 → d u = 8 r d r → d u 8 = r d r . Além disso, os limites de integração mudam de ∫ 0 1 para ∫ 1 + 4 ⋅ 0 2 1 + 4 ⋅ 1 2 . Assim,

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ ∫ 1 5 u - 1 4 u d u 8  

∬ f x , y , z d S = θ 2 - 1 4 sin ⁡ 2 θ 0 2 π ⋅ 1 32 ∫ 1 5 u 3 2 - u 1 2   d u

∬ f x , y , z d S = π ⋅ 1 32 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 1 5

∬ f x , y , z d S = π 32 2 5 5 2 5 - 2 3 5 5 - π 32 2 5 1 2 1 - 2 3 1 1

∬ f x , y , z d S = π 120 25 5 + 1

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = π 120 25 5 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Szd S S é a superfície x = y + 2 z 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S( z + x 2 y )d S S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que está entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo z o círculo do plano x z com centro em b ,0 ,0 e raio ab . [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos θ e α mostrados
Determine a área da superfície de equação vetorial r u ,v = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v,s e n 3u cos 3 ⁡ v,s e n 3v,0 ≤ u ≤ π,0 ≤ v ≤ 2 π Dê sua resposta com precisão de quatro casas decimais.
A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Encontre a área desta superfície.