Enunciado

Calcule a integral de superfície.

int int_S^() z d S

S é a superfície x = y + 2 z^2 , 0 <= y <= 1 , 0 <= z <= 1

Passo 1

Galera, nesse caso podemos olhar x como uma função de y e z , e escrever assim:

int int_S^() z d S = int int_D^() z sqrt(1 + ((del x)/(del y))^2 + ((del x)/(del z))^2) d A = int_0^1 int_0^1 z sqrt(1 + (1)^2 + (4 z)^2) d z d y = int_0^1 int_0^1 z sqrt(2 + 16 z^2) d z d y

Passo 2

Show! Agora vamos resolver a integral:

int_0^1 int_0^1 z sqrt(2 + 16 z^2) d z d y = int_0^1 [((2 + 16 z^2)^((3)/(2)))/((3)/(2) . 16 . 2)]_0^1 d y = int_0^1 (1)/(48) (18 sqrt(18) - 2 sqrt(2)) d y = (13 sqrt(2))/(12) [y]_0^1 = (13 sqrt(2))/(12)

Resposta

(13 sqrt(2))/(12)

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