Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ S x   d S

S é a superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Primeiro devemos entender a superfície S que estamos integrando.

Vamos usar a Equação 4, na qual

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f x , y , g x , y d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d A

Passo 2

Da superfície S desenhada acima e sugerida no enunciado, temos que

d z d x =   x 1 2

e

d z d y = y 1 2

1 + d z d x 2 + d z d y 2 = 1 + x + y

Passo 3

Logo nossa integral se resume a

∫ 0 1 ∫ 0 1 y 1 + x + y   d x d y  

Vamos inicialmente integral na direção x .

Fazendo 1 + x + y = u → d x = d u

∫ 0 1 ∫ 1 + y 2 + y y u d u d y = ∫ 0 1 y u 3 2 1 + y 2 + y = ∫ 0 1 y 2 + y 3 2 - 1 + y 3 2 d y

Agora fica feio e chato, mas temos capacidade para terminar essa integral. Acredite e não desista hahaha.

Vamos dividir nossa integral em duas, onde

∫ a + b = ∫ a + ∫ b

Fazendo u = y + 2 para primeira integral e t = y + 1 para a segunda.

Assim ficamos com

= ∫ 2 3 u - 2 u 3 2 d u - ∫ 1 2 t - 1 t 3 2 d t

= 2 3 2 7 u 7 2 - 4 5 u 5 2 2 3 - 2 3 2 7 t 7 2 - 2 5 t 5 2 1 2

= 4 105 9 3 + 4 2 - 2

Resposta

4 105 9 3 + 4 2 - 2

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Calcule a integral de superfície. ∬ x + y + z d S S é o paralelogramo com as equações paramétricas x = u + v ,y = u - v ,z = 1 + 2 u + v ,0 ≤ u ≤ 2 ,0 ≤ v ≤ 1 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S S é a superfície com o vetor paramétrico r u , v = 2 u v ,u 2 - v 2 , u 2 + v 2 ,u 2 + v 2 ≤ 1 .
2- Uma superfície S é formada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 ,- 1 ≤ z ≤ 1 , e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que f é uma função contínua com f ± 1 , 0,0 = 2 , f 0 , ± 1,0 = 3 e f
Seja S o cubo com vértices ± 1 , ± 1 , ± 1 . Aproxime ∫ ∫ S x 2 + 2 y 2 + 3 z 2d S usando as somas de Riemann como na Definição 1, tomando os retalhos S i j como os quadrados que são as faces do cubo
Encontrar a área da superfície do plano 2 x + y + 2 z = 16 , interceptado por x = 0 ,y = 0 ,x = 2 e y = 3 x = 0 ,y = 0 e x 2 + y 2 = 36 , no 1° octante