Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ S x   d S

S é a região triangular com vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0 , - 2,0 ) e ( 0,0 , 4 )

Passo 1

Primeiro devemos entender a superfície S que estamos integrando.

Vamos usar a Equação 4, na qual

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f x , y , g x , y d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d A

Passo 2

Da superfície S desenhada acima e sugerida no enunciado, temos que a equação geral do plano é

z = 4 - 4 x + 2 y com 0 ≤ x ≤ 1 e 2 x - 2 ≤ y ≤ 0

e com isso

d z d x =   - 4

e

d z d y = 2

1 + d z d x 2 + d z d y 2 = 1 + 16 + 4 = 21

Passo 3

Para achar os limites de integração, vamos fazer a projeção no plano x y :

z = 4 - 4 x + 2 y

z = 0   ( N o   p l a n o   x y )

y = 2 x - 2

Então:

2 x - 2 ≤ y ≤ 0

0 ≤ x ≤ 1

Logo nossa integral se resume a

∫ 0 1 ∫ 2 x - 2 0 x 21 d y d x = 21 ∫ 0 1 x d x y 2 x - 2 0 = 21 ∫ 0 1 x 2 - 2 x d x = 21 x 2 - 2 3 x 3 0 1  

= 21 1 - 2 3 = 21 3

Resposta

21 3

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