Enunciado

  1. Seja S o cubo com vértices ± 1 , ± 1 , ± 1 . Aproxime ∫ ∫ S x 2 + 2 y 2 + 3 z 2   d S   usando as somas de Riemann como na Definição 1, tomando os retalhos S i j como os quadrados que são as faces do cubo e os centros desses quadrados como os pontos P i j * .

Passo 1

Pela definição 1 na página 1106 temos que:

∫ ∫ S f x , y , z d S = lim m , n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f P i j *   Δ S i j

Cada face do cubo tem área igual a:

A = 1 - - 1 × 1 - - 1 = 4

E f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 e P i j * são os pontos que cruzam com os eixos coordenados (que serão os centros dos quadrados).

Passo 2

Dessa forma temos que a integral de superfície por integral de Riemann será:

lim m , n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f P i j *   Δ S i j =

f 1,0 , 0 × 4 + f - 1,0 , 0 × 4 +

f 0,1 , 0 × 4 + f 0 , - 1,0 × 4

f 0,0 , 1 × 4 + f 0,0 , - 1 × 4

Isso será igual a:

4 1 + 1 + 4 2 + 2 + 4 3 + 3 = 4 2 + 2 2 + 2 3 ≈ 33.17

Resposta

33.17

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Encontre a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = b 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde 0ab .
Uma superfície que consiste do cilindro x 2 + y 2 = 1 ,- 1 ≤ z ≤ 1 , junto com seu fundo e tampa. Suponha que você saiba que f é uma função contínua com f ± 1,0 , 0 = 2 f 0 , ± 1,0 = 3 f 0,0 , ± 1 = 4
Seja H o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 50 , z ≥ 0 , e suponhoa que f seja uma função contínua com f 3 ,4 ,5 = 7 , f 3 ,- 4 ,5 = 8 , f - 3 ,4 ,5 = 9 e f - 3 ,- 4 ,5 = 12 . Dividindo H em quatro retalhos
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S x yd S , S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 .
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S ( x 2 y + z 2 ) d S , S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 .