Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S ,   S é a superfície com equação vetorial.

r u , v = < 2 u v , u 2 - v 2   , u 2 + v 2 > , u 2 + v 2 ≤ 1

Passo 1

r u , v = < 2 u v , u 2 - v 2   , u 2 + v 2 > , u 2 + v 2 ≤ 1

Podemos calcular a suas taxas de variação em relação a u e v.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais

r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ ( 2 u v ) ∂ v i ⃑ + ∂ ( u 2 - v 2 ) ∂ v j ⃑ + ∂ ( u 2 + v 2 ) ∂ v k ⃑ = ( 2 u , - 2 v , 2 v )

r u = ∂ x ∂ u i ⃑ + ∂ y ∂ u j ⃑ + ∂ z ∂ u k ⃑ = ∂ ( 2 u v ) ∂ u i ⃑ + ∂ ( u 2 - v 2 ) ∂ u j ⃑ + ∂ ( u 2 + v 2 ) ∂ u k ⃑ = ( 2 v , 2 u , 2 u )

r u × r v = 2 u , - 2 v , 2 v × 2 v , 2 u , 2 u = i j k 2 v 2 u 2 u 2 u - 2 v 2 v

Passo 3

Agora vamos calcular o seguinte produto vetorial

r u × r v = i 2 v 2 u + 2 u 2 v - j - 2 u 2 u + 2 v 2 v + k - 2 u 2 u + 2 v - 2 v

r u × r v = 8 u v i ^ + 4 u 2 - v 2 j ^ - 4 u 2 + v 2 k ^

r u × r v = 8 u v 2 + 4 u 2 - v 2 2 + - 4 u 2 + v 2 2

r u × r v = 64 u 2 v 2 + 16 u 4 - 2 u 2 v 2 + v 2 + 16 u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4

r u × r v = 32 u 4 + 64 u 2 v 2 + 32 v 4

r u × r v = 32 u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 = 4 2 u 2 + v 2 2

r u × r v = 4 2 u 2 + v 2

Passo 4

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S = substituindo as equações paramétricas

∬ 2 u 2 v 2 + ( u 2 - v 2 2 ) r u × r v d S =

= ∬ 4 v 2 u 2 + u 4 - 2 u 2 v 2 + v 4 4 2 u 2 + v 2 d S =

4 2 ∬ u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 u 2 + v 2 d S

Para simplificar esse resultado podemos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

a + b 3 = a + b 2 a + b = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a + b )

a = u 2   e   b = v 2

4 2 ∬ u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 u 2 + v 2 d S = 4 2 ∬ u 2 + v 2 3 d S

A partir daqui podemos facilmente utilizar coordenadas polares:

u 2 + v 2 = r 2   e   d S = r d r d θ

4 2 ∬ u 2 + v 2 3 d S = 4 2 ∬ r 2 3 r d r d θ onde 0 ≤ θ ≤ 2 π   e   0 ≤ r ≤ 1  

que equivale á u 2 + v 2 ≤ 1

Assim nós teremos:

4 2 ∬ ( r 2 ) 3 r d r d θ = 4 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 7 d r = 4 2 ( 2 π ) ( r 8 8 ) 0 1 = 8 π 2 1 8 = 2 π

Resposta

∬ x 2 + y 2 d S = 2 π

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