Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 y z d S ,   S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y

Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .

Passo 1

Para este exercício é infinitamente mais simples calcular a integral de superfície utilizando a equação 4.

Para isso podemos calcular a taxa de variação em relação a x e y.

∂ z ∂ x = ∂ ( 1 + 2 x + 3 y ) ∂ x = 2

∂ z ∂ y = ∂ ( 1 + 2 x + 3 y ) ∂ y = 3

Passo 2

Quando temos uma função do tipo = f ( x , y )

A integral de superfície fica ∬ x 2 y z d S = ∬ x 2 y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 equação 4,

∬ x 2 y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 14 ∬ x 2 y z = 14 ∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y 1 + 2 x + 3 y d y d x =

∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 d y d x = ∫ 0 3 ( 1 2 x 2 y 2 + x 3 y 2 + x 2 y 3 ) 0 2 d x =

= 14 ∫ 0 3 10 x 2 + 4 x 3 d x = 14 ( 10 x 3 3 + x 4 ) 0 3 = 171 14

Resposta

∬ x 2 y z d S = 171 14

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