Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 y z d S

S é parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × [ 0,2 ] .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x 2 y z

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Assim,

∂ z ∂ x = 2

∂ z ∂ y = 3

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = x 2 y ( 1 + 2 x + 3 y ) 2 2 + 3 2 + 1 = x 2 y ( 1 + 2 x + 3 y ) 14

Passo 2

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral!

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y ( 1 + 2 x + 3 y ) 14 = 14 ∫ 0 3 ∫ 0 2 ( x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 ) d y d x

∬ f x , y , z d S = 14 ∫ 0 3 1 2 x 2 y 2 + x 3 y 2 + x 2 y 3 0 2 d x

∬ f x , y , z d S = 14 ∫ 0 3 10 x 2 + 4 x 3   d x

Estamos quase lá!

∬ f x , y , z d S = 14 10 3 x 3 + x 4 0 3

∬ f x , y , z d S = 171 14

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 171 14

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