Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ y 2 d S

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está acima do cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Podemos reescrever S como z = 1 - x 2 - y 2 . Assim,

∂ z ∂ x = - 2 x 2 1 - x 2 - y 2

∂ z ∂ y = - 2 y 2 1 - x 2 - y 2

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = y 2 - 2 x 2 1 - x 2 - y 2 2 + - 2 y 2 1 - x 2 - y 2 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = y 2 1 - x 2 - y 2

Passo 2

Portanto,

∬ y 2 d S = ∬ y 2 1 - x 2 - y 2 d x d y

Em coordenadas cilíndricas, a equação da esfera se torna r 2 + z 2 = 1 e que a do cone se torna z = r . Substituindo z = r na equação da esfera, temos:

r 2 + r 2 = 1

2 r 2 = 1

r = 1 2

Em coordenadas cilíndricas, podemos escrever:

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 sen 2 ⁡ θ 1 - r 2 r d r d θ

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ θ   d θ ∫ 0 1 2 r 2 1 - r 2 d r

Para resolver a primeira integral, podemos fazer uso da simplificação trigonométrica sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 . Para a segunda integral, vamos resolver por substituição! Seja u = 1 - r 2 → d u = - 2 r d r → d u - 2 = r d r . Os limites também mudam, indo de 0   a   1 / 2 para 1   a   1 / 2 . Assim,

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 π 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ   d θ ∫ 1 1 / 2 1 - u u d u - 2

∬ f x , y , z d S = θ 2 - 1 4 sen ⁡ 2 θ 0 2 π ∫ 1 1 2 u - 1 2 u d u

∬ f x , y , z d S = π u u 3 - u 1 1 2

∬ f x , y , z d S = π 1 2 1 2 3 - 1 2 - π 1 1 3 - 1

∬ f x , y , z d S = π 12 8 - 5 2

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = π 12 8 - 5 2

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