Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 16
Calcule a integral de superfície.
é a parte da esfera que está acima do cone .
Passo 1
Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que
Qualquer superfície com equação pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:
Precisamos achar as derivadas parciais de . Podemos reescrever como . Assim,
Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:
Passo 2
Portanto,
Em coordenadas cilíndricas, a equação da esfera se torna e que a do cone se torna . Substituindo na equação da esfera, temos:
Em coordenadas cilíndricas, podemos escrever:
Para resolver a primeira integral, podemos fazer uso da simplificação trigonométrica . Para a segunda integral, vamos resolver por substituição! Seja . Os limites também mudam, indo de para . Assim,
Resposta
A integral é igual a