Calcule a integral.

∫ 0 π / 4 tan 7 ⁡ θ d θ

Passo 1

Começamos reescrevendo a integral:

∫ 0 π / 4 tan 6 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

O tan 6 ⁡ θ pode ficar como tan 2 ⁡ θ 3 , logo:

∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ θ 3 tan ⁡ θ d θ

Usamos uma identidade para a tangente tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 :

∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ θ - 1 3 tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Usamos o método da substituição em que u = sec ⁡ θ e mudamos o valor dos intervalos:

∫ 1 2 u 2 - 1 3 u d u = ∫ 1 2 - 1 u + 3 u - 3 u 3 + u 5 d u

Resolvendo essa integral, temos:

∫ 1 2 - 1 u + 3 u - 3 u 3 + u 5 d u = 1 2 ln ⁡ 2 + 3 2 - 9 4 + 7 6

Prontinho!!

Resposta

1 2 ln ⁡ 2 + 3 2 - 9 4 + 7 6

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