Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 12
Calcule a integral tripla.
Passo 1
Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:
Sob a região E que fica abaixo do plano e acima do triângulo com vértices .
Sabemos que o triângulo dado no enunciado pode ser escrito em função das coordenadas e . Temos que varia de 0 a e está variando de 0 até a reta . A visualização da região fica mais fácil com o auxílio da imagem a seguir, que representa a região vista de cima:
Dessa forma, podemos reescrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Passo 2
Agora podemos calcular a integral em função de :
E, simplificando, obtemos:
Passo 3
E por fim, podemos resolver a integral em função de , no entanto, devemos nos lembrar de calcular o termo por partes, sendo assim temos:
Dessa forma, a integral em é dada por:
E, dessa forma o valor da integral é: