Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ sen y d V

Sob a região E que fica abaixo do plano z = x e acima do triângulo com vértices (0,0 , 0) , (pi , 0,0) e ( 0 , pi , 0 ) .

Sabemos que o triângulo dado no enunciado pode ser escrito em função das coordenadas x e y . Temos que x varia de 0 a pi e y está variando de 0 até a reta pi - x . A visualização da região fica mais fácil com o auxílio da imagem a seguir, que representa a região vista de cima:

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

int_0^(pi) int_0^(pi - x) int_0^x sen y d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

int_0^(pi) int_0^(pi - x) [z s e n y]_(z = 0)^(z = x) d y d x = int_0^(pi) int_0^(pi - x) (x sen y) - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

int_0^(pi) int_0^(pi - x) x sen y d y d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de y :

int_0^(pi) [- x cos y]_(y = 0)^(y = pi - x) d x = int_0^(pi) [- x c o s (pi - x) + x c o s ( 0 )] d x

E, simplificando, obtemos:

int_0^(pi) [- x c o s (pi - x) + x] d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x , no entanto, devemos nos lembrar de calcular o termo x c o s ( pi - x ) por partes, sendo assim temos:

int x c o s ( pi - x ) = C + x s e n (pi - x) - c o s ( pi - x )

Dessa forma, a integral em x é dada por:

[x s e n (pi - x) - cos (pi - x) + (1)/(2) x^2]_0^(pi) = 0 - 1 + (1)/(2) pi^2 - 0 - 1 - 0

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ sen y d V = (1)/(2) pi^2 - 2

Resposta

∭ sen y d V = (1)/(2) pi^2 - 2

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