Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ x d V

Sob a região E que é delimitada pelo parabolóide x = 4 y^2 + 4 z^2 e o plano x = 4 .

A imagem a seguir ilustra a região de interesse descrita no enunciado:

Dessa forma, com base na imagem, podemos reescrever a integral como:

int int int_(4 y^2 + 4 z^2)^4 x d x d y d z

Note que não especificamos um intervalo de integração para y e z ainda, não se preocupe, faremos isso na sequência, pois iremos mudar o sistema de coordenadas para o sistema polar, uma vez que a projeção da superfície E sobre o plano y z possui o formato de um disco. Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

int int [(1)/(2) x^2]_(4 y^2 + 4 z^2)^4 d A = (1)/(2) int int [4^2 - (4 y^2 + 4 z^2)^2] d A

Se substituírmos a equação do plano x = 4 na equação do parabolóide, obtemos:

4 = 4 y^2 + 4 z^2 -> y^2 + z^2 = 1

Que é a equação de um círculo ao redor da origem com raio 1.

Passo 2

Agora, conforme visto no passo 1, iremos mudar o sistema de coordenadas para o sistema polar, para isso, faremos y = r c o s theta , z = r s e n theta , dessa forma, temos:

(1)/(2) int int {4^2 - [4 (r c o s theta)^2 + 4 (r s e n theta)^2]^2} d A

E, utilizando a relação fundamental s e n^2 x + cos^2 x = 1 , obtemos:

(1)/(2) int_0^(2 pi) int_0^1 [16 - (4 r^2)^2] r d r d theta

E, simplificando, obtemos:

8 int_0^(2 pi) int_0^1 [1 - r^4] r d r d theta

Passo 3

Agora podemos separar as integrais em r e theta :

8 int_0^(2 pi) d theta int_0^1 (r - r^5) d r

Resolvendo as integrais simultaneamente, obtemos:

8 (2 pi) [(1)/(2) r^2 - (1)/(6) r^6]_0^1 = 16 pi {[(1)/(2) (1)^2 - (1)/(6) (1)^6] - [0]}

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ x d V = (16 pi)/(3)

Resposta

∭ x d V = (16 pi)/(3)

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