Enunciado

Calcule a integral tripla.

∭ E sen ⁡ y d V

Onde, E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .

Passo 1

Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando. A região do espaço está abaixo de um plano e acima da região triangular. Observem que a região triangular está contida no plano z = 0 (as três coordenadas z são todas iguais a 0). Portanto, temos:

0 ≤ z ≤ x

Agora, precisamos entender o comportamento desta região triangular. Podemos descrever esta região como tanto do tipo I quanto do tipo II. Escolhendo ela como do tipo I, temos:

0 ≤ x ≤ π

0 ≤ y ≤ - x + π

Portanto, temos a seguinte integral:

∫ 0 π ∫ 0 - x + π ∫ 0 x sen ⁡ y d z d y d x

Muito cuidado na hora de colocar a ordem! O resultado final deve ser um número!

Passo 2

Precisamos começar integrando a variável z Portanto,

∫ 0 π ∫ 0 - x + π ∫ 0 x sen ⁡ y d z d y d x = ∫ 0 π ∫ 0 - x + π x sen ⁡ y d y d x

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a y . Logo,

∫ 0 π ∫ 0 - x + π x sen ⁡ y d y d x = ∫ 0 π x - cos ⁡ y 0 - x + π d x

∫ 0 π x ( - cos ⁡ ( π - x ) + cos ⁡ 0 ) d x

∫ 0 π x ( - ( cos ⁡ π cos ⁡ x + sen ⁡ π sen ⁡ x ) + 1 ) d x

∫ 0 π ( x cos ⁡ x + x ) d x

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a x .

∫ 0 π ( x cos ⁡ x + x ) d x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + x 2 2 0 π

- 1 + π 2 2 - 1 = π 2 2 - 2

Resposta

∭ E sen ⁡ y d V = π 2 2 - 2

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Determine o volume do sólido dado. O tetraedro sólido com vértices 0,0 , 0 ,0,0 , 1 , 0,2 , 0e2,2 , 0 .