Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ ( x - y ) d V

Sob a região E que é determinada pelas superfícies z = x^2 - 1 , z = 1 - x^2 , y = 0 , y = 2 .

As imagens a seguir ilustram a região de interesse descrita no enunciado:

Dessa forma, com base nas imagens, podemos reescrever a integral como:

int_(- 1)^1 int_0^2 int_(x^2 - 1)^(1 - x^2) ( x - y ) d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

int_(- 1)^1 int_0^2 [z ( x - y )]_(z = x^2 - 1)^(z = 1 - x^2) d y d x = int_0^1 int_0^(sqrt(x)) {(x - y) [(1 - x^2) - (x^2 - 1)]} d y d x

Simplificando a expressão, temos:

int_(- 1)^1 int_0^2 ( 2 x - 2 x^3 - 2 y + 2 x^2 y ) d y d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de y :

int_(- 1)^1 [2 x y - 2 x^3 y - y^2 + x^2 y^2]_(y = 0)^(y = 2) d x = int_(- 1)^1 {[2 x (2) - 2 x^3 (2) - (2)^2 + x^2 (2)^2] - [0]} d x

E, simplificando, obtemos:

int_(- 1)^1 ( 4 x - 4 x^3 - 4 + 4 x^2 ) d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

[2 x^2 - x^4 - 4 x + (4)/(3) x^3]_(- 1)^1 = {[2 (1)^2 - 1^4 - 4 (1) + (4)/(3) (1)^3] - [2 (- 1)^2 - (- 1)^4 - 4 (- 1) + (4)/(3) (- 1)^3]}

= - (5)/(3) - (11)/(3)

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ ( x - y ) d V = - (16)/(3)

Resposta

∭ ( x - y ) d V = - (16)/(3)

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Calcule a integral iterada. ∫ ∫ ∫ ε x 2 ⋅ e y⋅ d V , onde E é limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0 , x = 1 e x = - 1 .
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