Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 3
Encontre a área da regiao que é limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado:
Passo 1
Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .No caso, esta bem explicito qual a função e qual intervalo, então basta somente resolver a integral.
Teremos que onde é uma primitiva de , ou seja, se derivarmos teremos a função dentro da integral.
Passo 2
A área sera dada, então, pela integral Nao e possível encontrar uma primitiva para enquanto ela estiver nessa forma, então, vamos usar duas relações trigonométricas para substituir essa função por uma que sabemos como encontrar uma primitiva.
Usando as relações: e a formula do arco duplo do cosseno: . Passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 3
Deu um pouco de trabalho, mas precisamos desse processo para encontrar a resposta.
Teremos então . Separando as integrais, e passando a constante para fora teremos:
Uma primitiva da função constante é e uma primitiva da função é , então teremos:
Resposta
Logo, a resposta é: .
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