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Encontre a área da regiao que é limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = s e n ( θ )     ,   π / 3 ≤ θ ≤ 2 π / 3

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explicito qual a função e qual intervalo, então basta somente resolver a integral.

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

Passo 2

A área sera dada, então, pela integral ∫ π / 3 2 π / 3 1 2 s e n 2 ( θ )   d θ . Nao e possível encontrar uma primitiva para 1 2   s e n 2 θ enquanto ela estiver nessa forma, então, vamos usar duas relações trigonométricas para substituir essa função por uma que sabemos como encontrar uma primitiva.

Usando as relações: s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a formula do arco duplo do cosseno: cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) . Passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2  

Passo 3

Deu um pouco de trabalho, mas precisamos desse processo para encontrar a resposta.

Teremos então ∫ π / 3 2 π / 3 1 2 s e n 2 ( θ )   d θ = ∫ π / 3 2 π / 3 1 4 . ( 1 - cos ⁡ 2 θ )   d θ . Separando as integrais, e passando a constante para fora teremos:

∫ π / 3 2 π / 3 1 4 . ( 1 - cos ⁡ 2 θ )   d θ = 1 4 . ( ∫ π / 3 2 π / 3   d θ - ∫ π / 3 2 π / 3 cos ⁡ 2 θ   d θ )

Uma primitiva da função constante é θ e uma primitiva da função cos ⁡ 2 θ é s e n 2 θ 2 , então teremos:

1 4 . ( ∫ π 3 2 π 3   d θ - ∫ π 3 2 π 3 cos ⁡ 2 θ   d θ ) =   1 4 . 2 π 3 - π 3 - 1 2 s e n 4 π 3 - s e n 2 π 3 = 1 4 . π 3 - 1 2 - 3 2 - 3 2 = 1 4 π 3 + 3 2 = π 12 + 3 8

Resposta

Logo, a resposta é: π 6 - 3 4 - 1 2 .

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