Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 1 ∫ 3 y 3 e x 2   d x   d y

Passo 1

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até 3 , enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = x / 3 . Assim,

∫ 0 1 ∫ 3 y 3 e x 2   d x   d y = ∫ 0 3 ∫ 0 x / 3 e x 2   d y   d x

Passo 2

Fazendo a primeira integral em y :

∫ 0 3 ∫ 0 x / 3 e x 2   d y   d x = ∫ 0 3 x 3   e x 2   d x

Assim, chamando u = x 2 , temos que d u = 2 x   d x . Assim,

∫ 0 3 x 3   e x 2   d x = 1 6 ∫ 0 9 e u   d u = 1 6 e 9 - e 0 = 1 6 ( e 9 - 1 )

Resposta

1 6 ( e 9 - 1 )

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