Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 2   ∫ y 2 1 y cos ⁡ x 3 - 1 d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até 1, enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = 2 x . Assim:

∫ 0 2   ∫ y 2 1 y cos ⁡ x 3 - 1 d x d y = ∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x

Passo 2

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y = y 2 2 cos ⁡ x 3 - 1 0 2 x

∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y = 2 x 2 cos ⁡ x 3 - 1

Portanto:

∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x = ∫ 0 1   2 x 2 cos ⁡ x 3 - 1 d x

Vamos aplicar a integração por substituição:

Seja:

u = x 3 - 1  

d u = 3 x 2 d x

x 2 d x = d u 3

Analisando os limites, temos:

x = 0 → u = - 1

x = 1 → u = 0

Substituindo, temos:

∫ 0 1   2 x 2 cos ⁡ x 3 - 1 d x = 2 ∫ - 1 0   cos ⁡ u d u 3

2 ∫ 1 2   cos ⁡ u d u 3 = 2 3 s e n   u - 1 0

2 ∫ 1 2   cos ⁡ u d u 3 = 2 3 s e n   0 - s e n ( - 1 )

2 ∫ 1 2   cos ⁡ u d u 3 = 2 3 s e n   1

A nossa resposta será:

∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x = 2 3 s e n   1

Resposta

∫ 0 1   ∫ 0 2 x y cos ⁡ x 3 - 1 d y d x = 2 3 s e n   1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 3 ∫ y 2 9 y cos ⁡ ( x 2 )d xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 sen ⁡ ( y 3 ) d yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ y 1 x 3 + 1d xd y
3. Inverter a ordem de integração: ∫ 0 4 ∫ 0 y 2 f x , y d x d y
3. Inverter a ordem de integração:g) ∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x f x , y d y d x