Enunciado

Expresse D com a união de regiões do tipo I ou do tipo I I e calcule a integral.

∬ D x 2 d A

Passo 1

A questão pede par escrevermos a integral sobre a região dada e em seguida calculá-la. Neste caso, vamos quebrar a integral em quatro partes, uma em cada quadrante.

Além disso, note que o integrando x 2 é uma função par, e a região de integração é simétrica. Desta forma, podemos calcular a integral apenas sobre a região x ≥ 0 e multiplicar o resultado por 2 .

No primeiro quadrante, temos que x varia de 0 a 1 , enquanto y vai de y = 1 - x até y = 1 :

∫ 0 1   ∫ 1 - x 1 x 2 d y d x

Já no quarto quadrante, y varia de y = - 1 até y = x - 1 . Assim:

∫ 0 1   ∫ - 1 x - 1 x 2 d y d x

Desta forma, temos que:

∬ D x 2 d A = 2 ∫ 0 1   ∫ 1 - x 1 x 2 d y d x + ∫ 0 1   ∫ - 1 x - 1 x 2 d y d x

Passo 2

Resolvendo as integrais de dentro, temos:

∬ D x 2 d A = 2 ∫ 0 1   x 2 1 - ( 1 - x ) d x + ∫ 0 1   x 2 x - 1 - - 1 d x

Portanto:

∬ D x 2 d A = 2 ∫ 0 1   x 3 d x + ∫ 0 1   x 3 d x

∬ D x 2 d A = 4 ∫ 0 1   x 3 d x

Agora é só resolver:

4 ∫ 0 1   x 3 d x = 4 x 4 4 0 1

4 ∫ 0 1   x 3 d x = 1

A nossa resposta será:

∬ D x 2 d A = 1

Resposta

∬ D x 2 d A = 1

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