Calcule a integral ∫ x 2 - 2 x + 1 . e 2 x d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

No entanto, caso haja repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Separamos ∫ x 2 - 2 x + 1 . e 2 x d x em f(x) = x 2 - 2 x + 1 e g(x) = e 2 x ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Observe que para integrar g(x) foi utilizada a fórmula : ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 3

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ x 2 - 2 x + 1 . e 2 x d x         = x 2 - 2 x + 1 .   1 2 .   e 2 x - ( 2 x - x ) .   1 4 .   e 2 x + 2 .   1 8 .   e 2 x

= x 2 - 2 x + 1 .   1 2 .   e 2 x - ( 2 x - 2 ) .   1 4 .   e 2 x + 2 .   1 8 .   e 2 x

= x 2 2 - x + 1 2 .   e 2 x - x 2 - 1 2 .   e 2 x + 1 4 . e 2 x

= e 2 x . x 2 2 - 3 x 2 + 5 4 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x 2 - 2 x + 1 . e 2 x d x     = e 2 x . x 2 2 - 3 x 2 + 5 4 + c

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