Enunciado

Determine d y / d x se y = ∫ cos ⁡ x 0 1 1 - t 2   d t . Explique as principais etapas de seu cálculo.

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite inferior de integração é cos ⁡ x . Para isso aplicamos a regra da Ordem de Integração, que é dada por:

∫ b a f x d x =   - ∫ a b f x d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = d d x ∫ cos ⁡ x 0 1 1 - t 2   d t = - d d x ∫ 0 cos ⁡ x 1 1 - t 2   d t

Passo 2

Neste caso, o limite superior de integração não é x , mas cos ⁡ x . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = - ∫ 0 u 1 1 - t 2 d t                                     e                                               u = cos ⁡ x

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 3

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = - d d x ∫ 0 u 1 1 - t 2 d t × d u d x =   - 1 1 - t 2 × - s e n   x = s e n   x 1 - t 2                        

Resposta

s e n   x 1 - t 2

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