Enunciado

Calcule a integral ∫ 0 π 2 x 3     . cos ⁡ 2 x   d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos integração tabular, que é um caso de repetição da integração por partes.

Apesar de se tratar de uma integral definida iremos, inicialmente, resolver como se fosse indefinida para facilitar o cálculo e depois aplicar a integral definida.

Passo 2

Separamos ∫ 0 π 2 x 3     . cos ⁡ 2 x   d x   em f(x) = x 3     e g(x) =   cos ⁡ 2 x , e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Para integrar g(x) usamos a fórmula: ∫ s e n   k . x d x =   - c o s ⁡ ( k . x ) k   , e

∫ c o s   k . x d x =   s e n ⁡ ( k . x ) k     sendo “k” uma constante.

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ x 3     . cos ⁡ 2 x   d x = x 3     1 2 . sen ⁡ 2 x - 3 x 2     . - 1 4 . cos ⁡ 2 x + 6 x - 1 8 . sen ⁡ 2 θ - 6 . 1 16 . cos ⁡ 2 x

= x 3     2 . sen ⁡ 2 x + 3 x 2     4 . cos ⁡ 2 x - 6 x 8 . sen ⁡ 2 x - 6 16 . cos ⁡ 2 x

= x 3     2 . sen ⁡ 2 x + 3 x 2     4 . cos ⁡ 2 x - 3 x 4 . sen ⁡ 2 x - 3 8 . cos ⁡ 2 x

Passo 3

Aplicar a integral definida no resultado

∫ 0 π 2 x 3     . cos ⁡ 2 x   d x = x 3     2 . sen ⁡ 2 x + 3 x 2     4 . cos ⁡ 2 x - 3 x 4 . sen ⁡ 2 x - 3 8 . cos ⁡ 2 x 0 π 2

= - 3 π 2     16 + ⁡ 3 8 - - 3 8

= - 3 π 2     16 + ⁡ 3 8 + 3 8

= 3 ( 4 - π 2     ) 16

Resposta

∫ 0 π 2 x 3     . cos ⁡ 2 x   d x   = 3 ( 4 - π 2     ) 16

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1-38 Calcule a integral33- ∫ 2 4 a r c s e cθd θ
1-38 Calcule a integral31- ∫ - 1 1 ln ⁡( x + 2 )d x
39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.41- para calcular ∫ ln ⁡ e xd x usando a integração por partes, escolha d v = e x d x .
1-38 Calcule a integral.30. ∫ e e ln ⁡ x x 2 d x
43-44 Calcule a integral fazendo uma substituição u e, depois, integrando por partes.43- ∫ e xd x