Enunciado

Questão 23: Calcule a integral indefinida.

int c o s sqrt(x) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve, além disso o integrando " c o s sqrt(x) " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs. Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções

Parece uma integral simples ? mas não é, lembrar que para usar integração por partes precisamos que no integrando tenha que ter um produto de duas funções?, então o primeiro passo é fazer aparecer um produto e funções, veja:

Faca x= t^2 , então dx = 2t dt , então substituindo na integral, temos:

int c o s sqrt(t^2) . 2 t d t = int cos t . 2 t d t , agora assim podemos usar integração por partes, vamos lá.

Passo 3

Seja F(x)= 2t -> derivando -> f’ (X) = 2

g’(x)= cos t -> integrando -> G(x)= sen t

Para encontrar todos os termos da formula, substituindo na formula de integração por partes.

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

int cos t . 2 t d t = 2 t s e n t - int 2 . s e n t d t

= 2 t s e n t – 2 int s e n t d t

= 2 t s e n t – 2 (- cos t)

= 2t sen t + 2.cos t

Passo 4

colocando em função de x, pois o problema pede em função de x, temos;

2 sqrt(x) sen sqrt(x) + 2.cos sqrt(x) + c.

Resposta

2 sqrt(x) sen sqrt(x) + 2.cos sqrt(x) + c.

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