Questão 23: Calcule a integral indefinida.

∫ c o s x   d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve, além disso o integrando   " c o s x " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs. Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções

Parece uma integral simples ? mas não é, lembrar que para usar integração por partes precisamos que no integrando tenha que ter um produto de duas funções?, então o primeiro passo é fazer aparecer um produto e funções, veja:

Faca x= t 2 , então dx = 2t dt , então substituindo na integral, temos:

∫ c o s t 2   . 2 t   d t   = ∫ cos ⁡ t . 2 t   d t , agora assim podemos usar integração por partes, vamos lá.

Passo 3

Seja F(x)= 2t derivando f’ (X) = 2

g’(x)= cos t integrando G(x)= sen t

Para encontrar todos os termos da formula, substituindo na formula de integração por partes.

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

∫ cos ⁡ t . 2 t   d t = 2 t   s e n   t   - ∫ 2 . s e n   t   d t

= 2 t   s e n   t   – 2 ∫ s e n   t   d t

= 2 t   s e n   t   – 2 (- cos t)

= 2t sen t + 2.cos t

Passo 4

colocando em função de x, pois o problema pede em função de x, temos;

2 x sen x + 2.cos x + c.

Resposta

2 x sen x + 2.cos x + c.

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