Questão 18) Calcule a integral indefinida:

                                                                                                                        ∫ s e n 2 x e x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve, pois, Note que o integrando   " s e n 2 x e x   não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integração por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X ) e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois,   numa prova você não vai ter no enunciado da questão citando; resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve (geralmente) produto de duas funções.

Passo 2

Analisando a formula de integração por partes

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer, certo? vamos lá

Lembre-se que sempre devemos ter no integrado um produto de funções, logo, fazemos:

1 e x = e - x , então a integral fica

∫ s e n 2 x e - x   d x , Fazendo os passos fundamentais da técnica integração por partes que é:

F(x)= e - x → d e r i v a n d o f’(x)= - e - x , e

g’(x)= sen2x   → i n t e g r a n d o → G(x)= - c o s 2 x 2 , Substituindo na formula temos;

∫ e - x s e n   2 x d x = e - x ( - c o s 2 x 2 ) - ∫ e - x c o s 2 x 2   d x , Usando novamente a técnica de integração por partes no ultimo termo da equação :

∫ e - x c o s 2 x 2   , F(x)= e - x 2   → f’(x) = - e - x 2  

g’(x)= cos2x   → G(x)= s e n   2 x 2

Passo 3

Substituindo na formula;

∫ e - x c o s   2 x 2   d x = e - x 2   ( s e n   2 x 2 ) + ∫ e - x s e n   2 x 4 dx

∫ e - x c o s 2 x 2   d x = e - x s e n 2 x 4 + ∫ e - x s e n   2 x 4     d x ,

Substituindo na expressão principal, temos

∫ e - x s e n 2 x 2   d x = - e - x cos ⁡ 2 x   2 – ( e - x s e n   2 x 4 + 1 4 ∫ s e n 2 x   e - x   d x )

= 5 4 ∫ s e n 2 x   e - x   dx = - e - x ( cos ⁡ 2 x 2 + s e n   2 x 4 ) = - e - x 3   (cos2x + s e n   2 x 2 )

= - e - x 5   ( 2 c o s 2 x + s e n 2 x ) +C

Resposta

∫ e - x s e n 2 x 2   d x = - e - x 5   ( 2 c o s 2 x + s e n 2 x ) +C

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