Enunciado

Questão 18) Calcule a integral indefinida:

int (s e n 2 x)/(e^x) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve, pois, Note que o integrando " (s e n 2 x)/(e^x) não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integração por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X ) e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão citando; resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve (geralmente) produto de duas funções.

Passo 2

Analisando a formula de integração por partes

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer, certo? vamos lá

Lembre-se que sempre devemos ter no integrado um produto de funções, logo, fazemos:

(1)/(e^x) = e^(- x) , então a integral fica

int s e n 2 x e^(- x) d x , Fazendo os passos fundamentais da técnica integração por partes que é:

F(x)= e^(- x) -> d e r i v a n d o -> f’(x)= - e^(- x) , e

g’(x)= sen2x -> i n t e g r a n d o -> G(x)= (- c o s 2 x)/(2) , Substituindo na formula temos;

int e^(- x) s e n 2 x d x = e^(- x) ( (- c o s 2 x)/(2) ) - int (e^(- x) c o s 2 x)/(2) d x , Usando novamente a técnica de integração por partes no ultimo termo da equação :

int (e^(- x) c o s 2 x)/(2) , F(x)= (e^(- x))/(2) -> f’(x) = - (e^(- x))/(2)

g’(x)= cos2x -> G(x)= (s e n 2 x)/(2)

Passo 3

Substituindo na formula;

int (e^(- x) c o s 2 x)/(2) d x = (e^(- x))/(2) ( (s e n 2 x)/(2) ) + int (e^(- x) s e n 2 x)/(4) dx

int (e^(- x) c o s 2 x)/(2) d x = (e^(- x) s e n 2 x)/(4) + int (e^(- x) s e n 2 x)/(4) d x ,

Substituindo na expressão principal, temos

int (e^(- x) s e n 2 x)/(2) d x = (- e^(- x) cos 2 x)/(2) – ( (e^(- x) s e n 2 x)/(4) + (1)/(4) int s e n 2 x e^(- x) d x )

= (5)/(4) int s e n 2 x e^(- x) dx = - e^(- x) ( (cos 2 x)/(2) + (s e n 2 x)/(4) ) = (- e^(- x))/(3) (cos2x + (s e n 2 x)/(2) )

= (- e^(- x))/(5) ( 2 c o s 2 x + s e n 2 x ) +C

Resposta

int (e^(- x) s e n 2 x)/(2) d x = (- e^(- x))/(5) ( 2 c o s 2 x + s e n 2 x ) +C

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