Enunciado

O que é “impróprio” a respeito de uma integral sobre um intervalo no qual integrando tem uma descontinuidade? Explique por que a Definição 5.5 . 1 de ∫ a b f x d x falha se o gráfico f tiver uma assíntoa vertical em x = a . Discuta uma estratégia para associar um valor a ∫ a b f x d x nessa circunstância.

Passo 1

Bom galera, a integral é chamada de imprópria quando ela possui descontinuidade ou um intervalo infinito, o impróprio disso é que ela não pode ser calculada normalmente.

Passo 2

Belezinha, no caso da integral com descontinuidade, ao invés utilizarmos a definição (Definição 5.5 . 1 ) de integração normal:

∫ a b f x d x = lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x k

Isso diz que o resultado da integral é a soma de áreas de intervalos infinitesimais, e no caso de uma descontinuidade haverá um valo que vai distorcer a resposta da nossa integração.

Passo 3

Show de bola galerinha, nessa caso para a gente conseguir encontrar a resposta certa, a gente divide em duas integrais, a primeira indo do ponto inicial até o ponto de descontinuidade, o segundo saindo do ponto de descontinuidade até o ponto final, vou explicar melhor, temos a integral:

∫ a b f x d x

A gente divide ela em:

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Sendo c o ponto de descontinuidade.

Resposta

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

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