Calcule a integral sem usar tabelas

∫ 0 ∞ d v 1 + v 2 ⋅ 1 + a r c t g ( v )    

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

i :       ∫ a ∞ f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

i i :       ∫ - ∞ a f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ b a f ( x )   d x

i i i :       ∫ - ∞ ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ c f ( x )   d x + ∫ c ∞ f ( x )   d x   ,   c   é   u m   n ú m e r o   q u a l q u e r

Passo 2

Primeiramente, façamos uma substituição simples para simplificar nossa resolução. Assim,

∫ 0 ∞ d v 1 + v 2 ⋅ 1 + a r c t g ( v )  

Fazendo u = 1 + a r c t g v → d u d v = 1 1 + v 2 → d u = d v 1 + v 2   . Analisando os limites de integração para essa nova variável teremos: quando v = 0 → u = 1 e quando v = ∞ → u = 1 + π 2   , dessa forma

∫ 1 1 + π 2 d u u = ln ⁡ u   1 + π 2 1 = ln ⁡ | 1 + π 2 | - ln ⁡ 1 = ln ⁡ ( 1 + π 2 )

Resposta

ln ⁡ ( 1 + π 2 )

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