Enunciado

Calcule a integral.

int (x + sen x)^2 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos manipular um pouco a expressão, resolvendo a expressão elevada ao quadrado:

int (x + sen x)^2 d x = int x^2 + 2 x sen x + sen^2 x d x = int x^2 d x + int 2 x sen x d x + int sen^2 x d x

A primeira é simples de resolver, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Assim:

int x^2 d x = (x^3)/(3) + C

Passo 2

Para calcular a segunda vamos então tentar fazer por partes:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (x) = 2 x e g ' (x) = sen x d x :

f^' (x) = 2 d x e g (x) = - cos x

Vamos substituir agora:

int 2 x sen x d x = - 2 x c o s x - int - 2 cos x d x = - 2 x c o s x + int 2 cos x d x = - 2 x c o s x + 2 sen x + C

Passo 3

Para achar a terceira vamos manipular primeiro:

int sen^2 x d x = int (1 - cos 2 x)/(2) d x = int (1)/(2) d x + int - (cos 2 x)/(2) d x

É fácil achar a primitiva da função da primeira, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Então ficamos com:

int (1)/(2) d x = (1)/(2) x + C

Com a segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer a mudança de variável:

u = 2 x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 2 d x -> d x = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (cos 2 x)/(2) d x = int - (cos u)/(4) d u

Aqui vamos usar duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int cos x d x = sen x + C

Aplicando:

int - (cos u)/(4) d u = - (1)/(4) int cos u d u = - (sen u)/(4) + C

Passo 4

Vamos juntar as duas agora:

int sen^2 x d x = int (1)/(2) d x + int - (cos 2 x)/(2) d x = (1)/(2) x - (sen u)/(4) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int sen^2 x d x = (1)/(2) x - (sen u)/(4) + C = (1)/(2) x - (sen 2 x)/(4) + C

Passo 5

Vamos voltar a expressão original agora:

int (x + sen x)^2 d x = int x^2 d x + int 2 x sen x d x + int sen^2 x d x = (x^3)/(3) - 2 x c o s x + 2 sen x + (1)/(2) x - (sen 2 x)/(4) + C

Resposta

int (x + sen x)^2 d x = (x^3)/(3) - 2 x c o s x + 2 sen x + (1)/(2) x - (sen 2 x)/(4) + C

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