Enunciado

Calcule a integral:

42) int_((1)/(2))^((1)/(sqrt(2))) (4)/(sqrt(1 - x ²)) . d x

Passo 1

Legal galera, vamos integrar esta função:

int_((1)/(2))^((1)/(sqrt(2))) (4)/(sqrt(1 - x ²)) d x

Pra resolver esse problema é importante lembrar que:

int (1)/(sqrt(1 - x ²)) d x = sin^(- 1) x

Essa função sin^(- 1) x é a inversa do seno. Como a nossa integral é definida não usamos a constante de integração! Beleza?!

Passo 2

Agora bora resolver!

4 int_((1)/(2))^((1)/(sqrt(2))) (1)/(sqrt(1 - x ²)) . d x = 4 (s i n^(- 1) x|_(1 // 2)^(1 // sqrt(2))

Agora é só substituir o x pelo intervalo dado:

4 (s i n^(- 1) x|_(1 // 2)^(1 // sqrt(2)) = 4 (sin^(- 1) (1)/(sqrt(2)) - sin^(- 1) (1)/(2))

= 4 (s i n^(- 1) (1)/(sqrt(2)) - s i n^(- 1) (1)/(2)) = 4 ((pi)/(4) - (pi)/(6))

= 4 ((3 pi - 2 pi)/(12)) = (pi)/(3)

Prontinho!

Resposta

int_((1)/(2))^((1)/(sqrt(2))) (4)/(sqrt(1 - x ²)) d x = (pi)/(3)

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