Enunciado

Calcule e justifique:

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x) - sqrt(1))/(sqrt(2 x + 3) - sqrt(5))

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f (x) = (sqrt(x) - sqrt(1))/(sqrt(2 x + 3) - sqrt(5)) quando x tende a 1 . Então, vamos analisar o comportamento dessa função e pra qual valor f ( x ) se aproxima quando x se aproxima de 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Repare que a função (sqrt(x) - sqrt(1))/(sqrt(2 x + 3) - sqrt(5)) não está definida para x = 1 , pois nesse ponto o denominador vai para zero e não existe divisão por zero.

Então, para fugir dessa indeterminação, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo produto do conjugado de sqrt(x) - sqrt(1) e do conjugado de sqrt(2 x + 3) - sqrt(5) . Assim:

(sqrt(x) - sqrt(1))/(sqrt(2 x + 3) - sqrt(5)) = ((sqrt(x) - sqrt(1)) (sqrt(x) + sqrt(1)) (sqrt(2 x + 3) + sqrt(5)))/((sqrt(2 x + 3) - sqrt(5)) (sqrt(x) + sqrt(1)) (sqrt(2 x + 3) + sqrt(5)))

Simplificando:

(( x - 1 ) (sqrt(2 x + 3) + sqrt(5)))/((2 x + 3 - 5) (sqrt(x) + sqrt(1)))

= ((x - 1) (sqrt(2 x + 3) + sqrt(5)))/((2 x - 2) (sqrt(x) + sqrt(1)))

Colocando 2 em evidência no denominador e simplificando novamente, temos:

= (( x - 1 ) (sqrt(2 x + 3) + sqrt(5)))/(2 (x - 1) (sqrt(x) + sqrt(1))) = ((sqrt(2 x + 3) + sqrt(5)))/(2 (sqrt(x) + sqrt(1)))

Passo 3

Agora vamos colocar esse resultado no nosso limite:

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x) - sqrt(1))/(sqrt(2 x + 3) - sqrt(5)) = underset(x -> 1)(lim) ((sqrt(2 x + 3) + sqrt(5)))/(2 (sqrt(x) + sqrt(1)))

Agora podemos aplicar o limite apenas substituindo o valor de x = 1 :

= ((sqrt(2 + 3) + sqrt(5)))/(2 (sqrt(1) + sqrt(1)))

= (2 sqrt(5))/(2 (2)) = (sqrt(5))/(2)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (sqrt(x) - sqrt(1))/(sqrt(2 x + 3) - sqrt(5)) = (sqrt(5))/(2)

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