Calcule e justifique:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 x + 3 - 5

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f x = x - 1 2 x + 3 - 5 quando x tende a 1 . Então, vamos analisar o comportamento dessa função e pra qual valor f ( x ) se aproxima quando x se aproxima de 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Repare que a função

x - 1 2 x + 3 - 5

não está definida para x = 1 , pois nesse ponto o denominador vai para zero e não existe divisão por zero.

Então, para fugir dessa indeterminação, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo produto do conjugado de x - 1 e do conjugado de 2 x + 3 - 5 . Assim:

x - 1 2 x + 3 - 5 = x - 1 x + 1 2 x + 3 + 5 2 x + 3 - 5 x + 1 2 x + 3 + 5

Simplificando:

( x - 1 ) 2 x + 3 + 5 2 x + 3 - 5 x + 1

= x - 1 2 x + 3 + 5 2 x - 2 x + 1

Colocando 2 em evidência no denominador e simplificando novamente, temos:

= ( x - 1 ) 2 x + 3 + 5 2 x - 1 x + 1 = 2 x + 3 + 5 2 x + 1

Passo 3

Agora vamos colocar esse resultado no nosso limite:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 x + 3 - 5 = lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 + 5 2 x + 1

Agora podemos aplicar o limite apenas substituindo o valor de x = 1 :

= 2 + 3 + 5 2 1 + 1

= 2 5 2 2 = 5 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 x + 3 - 5 = 5 2

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