Enunciado

Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:

A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3 - 2 x - x ² , com

- 1 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Oi, pessoal! Para resolver esse problema, a gente tem que primeiro entender como é essa área, para depois achar os limites de integração e então resolver a integral definida.

Lembre-se: para desenhar a figura basta colocar os dados do problema, um de cada vez. Se for difícil enxergar o comportamento gráfico da função dada, teste alguns pontos do intervalo e faça o esboço. O conjunto se encontra sempre entre as funções dadas e marcá-lo no desenho ajuda a visualizar e calcular.

Vamos lá!

Passo 2

O problema pediu a área entre - 1 ≤ x ≤ 2 . Então vamos achar quanto vale a nossa função y = 3 - 2 x - x ² , nesses pontos:

Para x = - 1 , temos que

y = 3 - 2 - 1 - - 1 2

y = 4

Para x = 2 , temos que

y = 3 - 2 2 - 2 2

y = - 5

Esboçando o gráfico, ficamos com

Lembrando que o problema pediu a área entre a função e o eixo y = 0 , então temos uma região em que a área está acima do eixo x e uma região em que ela está abaixo. Deste modo, vamos calcular cada região em separado.

Passo 3

Olhando para figura vemos que a região acima do eixo x vai de - 1 < x < 1 , já a outra vai de 1 < x < 2 .

Então a nossa integral fica assim,

Á r e a =   ∫ - 1 1 3 - 2 x - x 2   d x -   ∫ 1 2 3 - 2 x - x 2   d x

Resolvendo a integral, temos

= 3 x - x 2 - x 3 3 - 1 1 - 3 x - x 2 - x 3 3 1 2 = 23 3    

Resposta

Á r e a = 23 3

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