Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (para isto, calcule todos os limites necessários).

f x = x ln ⁡ x

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função logarítmica natural e do produto:

x n ' = n x n - 1

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Vamos então aplicar:

f ' x = x ln ⁡ x ' = x ' ln ⁡ x + ln ⁡ x ' x = 1 ⋅ ln ⁡ x + 1 x x = ln ⁡ x + 1

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

ln ⁡ x + 1 = 0 → ln ⁡ x = - 1 → x = e - 1

Vamos analisar o sinal da expressão:

Temos que f ' x > 0 , vamos ter que um ponto de descontinuidade em 0 devido ao denominador, assim:

e - 1 , + ∞

E em f ' x < 0 :

0 , e - 1

Assim:

f é estritamente crescente em e - 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em 0 , e - 1

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ x = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em e - 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em 0 , e - 1

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