Calcule.

lim x → 2 ⁡ x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 x 4 - 5 x - 6

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 x 4 - 5 x - 6 quando x tende a 2 .

Repare que substituir o valor 2 na expressão, nos fornece uma inderterminação do tipo 0 0 . Então, vamos tentar fatorar e simplificar a nossa expressão para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Vamo lá!

Passo 2

Vamos analisar o limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 x 4 - 5 x - 6

No numerador vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor 1 :

x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = 1 3 - 5 ∙ 1 2 + 8 ∙ 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Dividindo x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 por x - 1 :

Vamos ter que:

x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = x - 1 x 2 - 4 x + 4

Passo 3

Agora vamos analisar x 2 - 4 x + 4 , vamos usar a seguinte fórmula para comparar e achar o valor de a e b :

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

De cara sabemos que a = x , e temos que o termo:

- 2 a b = - 4 x ↔ - 2 a b = - 4 a ↔ - 2 b = - 4 ↔ b = 2

Assim, temos que b = 2 .

Vamos substituir:

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 → x - 2 2 = x 2 - 2 ∙ x ∙ 2 + 2 2 → x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

Pronto, deu certinho, temos então que:

x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = x - 1 x 2 - 4 x + 4 = x - 1 x - 2 2

Passo 4

Para o denominador temos x 4 - 5 x - 6 , vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor - 1 :

x 4 - 5 x - 6 = - 1 4 - 5 ∙ - 1 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0

Dividindo x 4 - 5 x - 6 por x + 1 :

Vamos ter que:

x 4 - 5 x - 6   = x + 1 x 3 - x 2 + x - 6

Passo 5

Agora para x 3 - x 2 + x - 6 , vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor 2 :

x 3 - x 2 + x - 6 = 2 3 - 2 2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0

Dividindo x 3 - x 2 + x - 6 por x - 2 :

Vamos ter que:

x 4 - 5 x - 6   = x + 1 x 3 - x 2 + x - 6 = x + 1 x - 2 x 2 + x + 3

Passo 6

Toda essa trabalheira, foi só pra gente poder escrever a nossa função fatorada no limite. Então, agora é só substituir no limite:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 x 4 - 5 x - 6 = lim x → 2 ⁡ x - 1 x - 2 2 x + 1 x - 2 x 2 + x + 3

Simplificando:

= lim x → 2 ⁡ x - 1 x - 2 x + 1 x 2 + x + 3

Agora só é necessário substituir o valor x = 2 na expressão, e achamos a resposta:

lim x → 2 ⁡ x - 1 x - 2 x + 1 x 2 + x + 3 =   2 - 1 2 - 2 2 + 1 2 2 + 2 + 3

= 1 ∙ 0 3 4 + 2 + 3 = 0 27 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 x 4 - 5 x - 6 =   0

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