Enunciado

Calcule.

underset(x -> 2)(lim) (x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4)/(x^4 - 5 x - 6)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = (x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4)/(x^4 - 5 x - 6) quando x tende a 2 .

Repare que substituir o valor 2 na expressão, nos fornece uma inderterminação do tipo (0)/(0) . Então, vamos tentar fatorar e simplificar a nossa expressão para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Vamo lá!

Passo 2

Vamos analisar o limite:

underset(x -> 2)(lim) (x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4)/(x^4 - 5 x - 6)

No numerador vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor 1 :

x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4 = 1^3 - 5 * 1^2 + 8 * 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Dividindo x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4 por x - 1 :

Vamos ter que:

x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4 = (x - 1) (x^2 - 4 x + 4)

Passo 3

Agora vamos analisar x^2 - 4 x + 4 , vamos usar a seguinte fórmula para comparar e achar o valor de a e b :

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2

De cara sabemos que a = x , e temos que o termo:

- 2 a b = - 4 x harr - 2 a b = - 4 a harr - 2 b = - 4 harr b = 2

Assim, temos que b = 2 .

Vamos substituir:

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 -> (x - 2)^2 = x^2 - 2 * x * 2 + 2^2 -> (x - 2)^2 = x^2 - 4 x + 4

Pronto, deu certinho, temos então que:

x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4 = (x - 1) (x^2 - 4 x + 4) = (x - 1) (x - 2)^2

Passo 4

Para o denominador temos x^4 - 5 x - 6 , vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor - 1 :

x^4 - 5 x - 6 = (- 1)^4 - 5 * (- 1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0

Dividindo x^4 - 5 x - 6 por x + 1 :

Vamos ter que:

x^4 - 5 x - 6 = (x + 1) (x^3 - x^2 + x - 6)

Passo 5

Agora para x^3 - x^2 + x - 6 , vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor 2 :

x^3 - x^2 + x - 6 = 2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0

Dividindo x^3 - x^2 + x - 6 por x - 2 :

Vamos ter que:

x^4 - 5 x - 6 = (x + 1) (x^3 - x^2 + x - 6) = (x + 1) (x - 2) (x^2 + x + 3)

Passo 6

Toda essa trabalheira, foi só pra gente poder escrever a nossa função fatorada no limite. Então, agora é só substituir no limite:

underset(x -> 2)(lim) (x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4)/(x^4 - 5 x - 6) = underset(x -> 2)(lim) ((x - 1) (x - 2)^2)/((x + 1) (x - 2) (x^2 + x + 3))

Simplificando:

= underset(x -> 2)(lim) ((x - 1) (x - 2))/((x + 1) (x^2 + x + 3))

Agora só é necessário substituir o valor x = 2 na expressão, e achamos a resposta:

underset(x -> 2)(lim) ((x - 1) (x - 2))/((x + 1) (x^2 + x + 3)) = ((2 - 1) (2 - 2))/((2 + 1) (2^2 + 2 + 3))

= (1 * 0)/(3 (4 + 2 + 3)) = (0)/(27) = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4)/(x^4 - 5 x - 6) = 0

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