Calcule lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h sendo f dada por

f(x) = (-x)^3 + 2x

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f x = - x 3 + 2 x no limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ - x + h 3 + 2 x + h - - x 3 + 2 x h

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao cubo, vamos lembrar que:

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Vamos aplicar então:

lim h → 0 ⁡ - x + h 3 + 2 x + h - - x 3 + 2 x h = lim h → 0 ⁡ - x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 + 2 x + 2 h + x 3 - 2 x h = lim h → 0 ⁡ - x 3 - 3 x 2 h - 3 x h 2 - h 3 + 2 h + x 3 h = lim h → 0 ⁡ - 3 x 2 h - 3 x h 2 - h 3 + 2 h h

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

lim h → 0 ⁡ - 3 x 2 h - 3 x h 2 - h 3 + 2 h h = lim h → 0 ⁡ h - 3 x 2 - 3 x h - h 2 + 2 h = lim h → 0 ⁡ - 3 x 2 - 3 x h - h 2 + 2

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

lim h → 0 ⁡ - 3 x 2 - 3 x h - h 2 + 2 = - 3 x 2 - 3 x ∙ 0 - 0 2 + 2 = - 3 x 2 + 2

Resposta

lim h → 0 ⁡ - x + h 3 + 2 x + h - - x 3 + 2 x h = - 3 x 2 + 2

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