Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4   ⁡  

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão é bem direta, ela pede pra gente determinar o lomite infinito dado por:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4

E a primeira coisa a fazer quando temos que calcular um é substituir o x pelo valor que eles está tendendo.

Pode ser que ao fazer isso nós encontremos algum problema, então teremos que modificar um pouco a forma como a função está escrita, para conseguir calcular.

Mas calma que te ajudo com isso.

Passo 2

Nosso limite é:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4

Substituindo o valor de x , ficamos com:

2 2 - 2 ⋅ 2 2 2 - 4 ⋅ 2 + 4 = 4 - 4 4 - 8 + 4 = 0 0

Opa! Caimos em uma indeterminação matemática. Então já sabemos, né?

Teremos que modificar um pouco a forma como a função está escrita.

Passo 3

Nossa função é

f x = x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4

Podemos decompor a função fatorando para ficar assim:

x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4

Colocamos x em evidência no numerador e escrevemos o trinômio quadrado perfeito como um quadrado da diferença no denominador. Então teremos:

= x x - 2 x - 2 2 = x x - 2   ⁡  

O que torna nosso limites um pouco mais simples.

Assim, o que era:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4

Se torna

lim x → 2 - ⁡ x x - 2

Agora vamos novamente tentar calcular esse limite.

Passo 4

Vamos fazer

lim x → 2 - ⁡ x x - 2

Quando x → 2   - , para o numerador temos que ,   x → 2 e para o denominador temos que

x < 2 ⇒ x - 2 < 0

Pois estamos nos aproximando por valores a esquerda de 2 .

Portanto, o denominador é um valor negativo que se aproxima de 0 .

Assim, um número positivo dividido por um número negativo que tende a 0 , resulta em - ∞ . Portanto:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4 = lim x → 2 - ⁡ x x - 2 =   - ∞   ⁡  

E prontinho, achamos nosso limite infinito.

Resposta

- ∞

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