Enunciado

Calcule.

underset(x -> - 1)(lim) (x^3 + 1)/(x^2 - 1)

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor - 1 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a^3 + b ³ , então podemos usar a seguinte fórmula:

a^3 + b^3 = ( a^2 - a . b + b^2 ) ( a + b )

Assim temos a = x e b = 1 :

x^3 + 1^3 = (x^2 - x . 1 + 1^2) (x + 1) = ( x^2 - x + 1 ) ( x + 1 )

Resultando no limite:

underset(x -> - 1)(lim) (x^3 + 1)/(x^2 - 1) = underset(x -> - 1)(lim) ((x^2 - x + 1) (x + 1))/(x^2 - 1)

Passo 3

No denominador temos um polinômio do segundo grau, da seguinte forma x^2 - 1 , então podemos usar a seguinte fórmula e achar o valor de a e b :

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

De cara sabemos que a = x e b = 1 , assim vamos ficar com:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) -> x^2 - 1 = (x + 1) (x - 1)

Vamos ter então o limite:

underset(x -> - 1)(lim) ((x^2 - x + 1) (x + 1))/(x^2 - 1) = underset(x -> - 1)(lim) ((x^2 - x + 1) (x + 1))/((x + 1) (x - 1))

Passo 4

Agora temos o limite da seguinte forma:

underset(x -> - 1)(lim) (x^3 + 1)/(x^2 - 1) = underset(x -> - 1)(lim) ((x^2 - x + 1) (x + 1))/((x + 1) (x - 1))

Podemos simplificar eliminando a expressão x + 1 que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

underset(x -> - 1)(lim) ((x^2 - x + 1) (x + 1))/((x + 1) (x - 1)) = underset(x -> - 1)(lim) (x^2 - x + 1)/(x - 1)

Passo 5

Agora é só substituir o valor - 1 na expressão, e pronto, tudo resolvido.

underset(x -> - 1)(lim) (x^2 - x + 1)/(x - 1) = ((- 1)^2 - (- 1) + 1)/(- 1 - 1) = (1 + 1 + 1)/(- 2) = - (3)/(2)

Resposta

underset(x -> - 1)(lim) (x^3 + 1)/(x^2 - 1) = - (3)/(2)

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