Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 1)]

Passo 1

Vamos lá, para resolver esse limite vamos multiplicar e dividir a expressão do limite pelo conjugado de x - sqrt(x^2 + 1) :

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 1)] = underset(x -> + oo)(lim) ((x - sqrt(x^2 + 1)) * (x + sqrt(x^2 + 1)))/((x + sqrt(x^2 + 1))) = underset(x -> + oo)(lim) (x^2 + x sqrt(x^2 + 1) - x sqrt(x^2 + 1) - (sqrt(x^2 + 1))^2)/(x + sqrt(x^2 + 1)) = underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - (x^2 + 1))/(x + sqrt(x^2 + 1)) = underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - x^2 - 1)/(x + sqrt(x^2 + 1)) = underset(x -> + oo)(lim) (- 1)/(x + sqrt(x^2 + 1))

Agora vamos usar a propriedade da divisão e da soma:

underset(x -> + oo)(lim) (- 1)/(x + sqrt(x^2 + 1)) = (underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + sqrt(x^2 + 1)) = (underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 1))

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre na expressão da raíz:

(underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 1)) = (underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 (1 + (1)/(x^2)))) = (underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + underset(x -> + oo)(lim) x * sqrt(1 + (1)/(x^2)))

Por último vamos usar a propriedade da multiplicação:

(underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + underset(x -> + oo)(lim) x * sqrt(1 + (1)/(x^2))) = (underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + underset(x -> + oo)(lim) x * underset(x -> + oo)(lim) sqrt(1 + (1)/(x^2)))

Pronto, agora fica simples, vamos então resolver os limites separamente.

Passo 2

Primeiro no numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) - 1 = - 1

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos:

underset(x -> + oo)(lim) x = + oo

Já no segundo limite temos (1)/(x^2) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^2) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(1 + (1)/(x^2)) = sqrt(1 + 0) = sqrt(1) = 1

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 1)] = (underset(x -> + oo)(lim) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) x + underset(x -> + oo)(lim) x * underset(x -> + oo)(lim) sqrt(1 + (1)/(x^2))) = (- 1)/(oo + oo . 1) = (- 1)/(oo) = 0

Lembre que (k)/(+- oo) = 0 , onde k é uma constante.

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [x - sqrt(x^2 + 1)] = 0

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Determine os limites nos Exercícios 23 – 36.
Determine o limite QUOTE _x0001_
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Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ x 2 - 5 x x 3 + x - 2