Calcule o limite.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1

Passo 1

Inicialmente, podemos tentar calcular o limite fazendo x = ∞ . Assim,

L = ∞ 2 + 1 - ∞ 2 - 1

Logo,

L = ∞ - ∞

Como chegamos numa indeterminação, vamos ter que mexer na nossa expressão.

Passo 2

Repare que o nosso limite e a subtração de duas raízes, então podemos lembrar daquela ideia de multiplicar em cima e embaixo por um fator para aparecer a diferença de quadrados, se você não lembra é só vir comigo!

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1

Se multiplicarmos em cima e embaixo por: x 2 + 1 + x 2 - 1 , vamos ter o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1 × x 2 + 1 + x 2 - 1 x 2 + 1 + x 2 - 1

Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1 x 2 + 1 + x 2 - 1 x 2 + 1 + x 2 - 1

Agora repare que no denominador apareceu uma expressão do tipo:

a - b a + b

E essa expressão é conhecida!

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 2 - x 2 - 1 2 x 2 + 1 + x 2 - 1

Passo 3

Organizando nossa expressão:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 - x 2 - 1 x 2 + 1 + x 2 - 1

Simplificando:

L = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + 1 + x 2 - 1

Pra finalizar, basta fazemos x → ∞ :

L = 2 ∞ 2 + 1 + ∞ 2 - 1

Assim,

L = 2 ∞ + ∞   = 1 ∞

Logo,

L = 0

Resposta

L = 0

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