Enunciado

Calcule o limite.

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1)

Passo 1

Inicialmente, podemos tentar calcular o limite fazendo x = oo . Assim,

L = sqrt(oo^2 + 1) - sqrt(oo^2 - 1)

Logo,

L = oo - oo

Como chegamos numa indeterminação, vamos ter que mexer na nossa expressão.

Passo 2

Repare que o nosso limite e a subtração de duas raízes, então podemos lembrar daquela ideia de multiplicar em cima e embaixo por um fator para aparecer a diferença de quadrados, se você não lembra é só vir comigo!

L = underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1)

Se multiplicarmos em cima e embaixo por: sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1) , vamos ter o seguinte:

L = underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1) xx (sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1))/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1))

Assim,

L = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1)) (sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1)))/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1))

Agora repare que no denominador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(x^2 + 1))^2 - (sqrt(x^2 - 1))^2)/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1))

Passo 3

Organizando nossa expressão:

L = underset(x -> + oo)(lim) ((x^2 + 1) - (x^2 - 1))/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1))

Simplificando:

L = underset(x -> + oo)(lim) (2)/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x^2 - 1))

Pra finalizar, basta fazemos x -> oo :

L = (2)/(sqrt(oo^2 + 1) + sqrt(oo^2 - 1))

Assim,

L = (2)/(oo + oo) = (1)/(oo)

Logo,

L = 0

Resposta

L = 0

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